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Exemplos de Álgebra Linear Sobre Corpos - Volume 1 - Corpos Finitos Exemplos de Álgebra Linear Sobre Corpos

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  • Descrição
    Exemplos de Álgebra Linear Sobre Corpos - Volume 1 - Corpos Finitos

    Álgebra linear e matrizes têm sido muito importantes na Matemática, Física, e Ciência da Computação entre outras áreas. Pela primeira vez, neste livro é apresentado, de uma maneira sistemática, um estudo de álgebra linear sobre corpos finitos de um ponto de vista baseado nos exemplos.

    A obra, com seus treze capítulos, contém muitos exemplos que podem ser estudados com mais atenção e gerar novas teorias. Além dos assuntos básicos de álgebra linear sobre corpos finitos e um estudo detalhado desses corpos, os capítulos finais abordam teorias de códigos clássicos e relação com grafos e teoria dos números. Teoria dos Códigos é uma parte da tecnologia moderna digital e transmissão de informações pelos computadores, satélites e aparelhos digitais. É uma área de conhecimento muito promissora e interessante de estudar por causa de suas relações com diferentes campos do conhecimento.
  • Sobre o Autor
  • Especificação

    Características

    Tipo de LivroLivro Físico

    Especificações

    Sobre o AutorSalahoddin Shokranian
    Professor Shokranian, como ficou conhecido entre seus alunos, trabalha na Universidade de Brasília (UnB) desde 1982. Durante este período foi professor e pesquisador visitante nas melhores Universidades e Instituições de Pesquisas. Ele gosta de escrever livros e acredita que isso é uma forma boa de contribuir para o avanço do conhecimento matemático e cultural. Publicou muitos livros em Teoria dos Números, em Álgebra e outras áreas relacionadas. Atualmente está escrevendo sobre álgebra linear em análise, física quântica e teoria dos números. Sua formação matemática iniciou no Irã. Concluiu seu Ph.D. na Universidade de Califórnia Berkeley.
    Informações Técnicas Sumário

    1 Introdução – 1
    2 Z-módulos e Z/NZ-módulos - 9
    2.1 Z-m´odulos e vetores - 10
    2.1.1 Construção dematrizes inteiras - 11
    2.1.2 Matrizes GLn(Z) e SLn(Z) - 13
    2.2 Relação entre as ordens – 16


    3 Corpos finitos: propriedades básicas - 19
    3.1 Número de elementos - 20
    3.1.1 Corpo binário - 21
    3.2 O papel do característico - 21
    3.2.1 Espaços vetoriais e corpos finitos - 22
    3.3 Subgrupo multiplicativo Fq - 25
    3.4 Geradores de Fq - 28
    3.4.1 Conjectura de Artin - 30
    3.4.2 Soma e produto dos elementos não nulos - 34
    3.5 Quadrados e soma das potências - 35
    3.5.1 Elementos quadrados - 35
    3.5.2 Soma das m-ésimas potências - 37
    3.6 Automorfismo de Frobenius - 38
    3.7 Polinômios sobre corpos finitos - 42
    3.7.1 Polinômios irredutíveis - 42
    3.7.2 Teorema de Eisenstein - 48
    3.7.3 Fatoração de polinômios - 51
    3.7.4 Períodos de polinômios – 52


    4 Corpos finitos e espaços vetoriais - 55
    4.1 Exemplo de Z/NZ - 56
    4.2 Espaços vetoriais - 56
    4.3 Redução módulo p de um Z-módulo - 59
    4.3.1 Posto e redução módulo p de matrizes - 62
    4.3.2 Cálculo do posto: probabilidade - 63
    4.4 Sistemas lineares e independência linear - 66
    4.4.1 Método de Cramer - 71
    4.4.2 Número das soluções de sistemas lineares - 71
    4.5 Formas bilineares e base ortogonal - 75
    4.5.1 Decomposição ortogonal - 79
    4.6 Subespaços como Z-módulos - 80
    4.6.1 Quantidade de subespaços – 81


    5 Polinômio característico - 85
    5.1 Polinômio característico - 90
    5.1.1 Teorema de Cayley-Hamilton - 91
    5.1.2 Representação matricial - 92
    5.2 Polinômios ciclotômicos - 94
    5.2.1 Ciclotomia e polinômios ciclotômicos - 95
    5.3 Probabilidade - 98
    5.4 Polinômio característico, de novo - 99
    5.5 Função de Mobius - 99
    5.5.1 Consequências aritméticas - 102
    5.5.2 Convolução e função de Mobius - 103
    5.6 Produto dos polinômios irredutíveis - 105
    5.6.1 Teorema de subcorpo - 106
    5.6.2 Polinômio mínimo de um elemento - 107
    5.7 Fórmula da invers˜ao de Mobius e prova do Teorema 5.18 . 111
    5.7.1 Exemplo de equação quadrática – 112


    6 Autovalores e formas canônicas - 113
    6.1 “Dinâmica”de corpos finitos - 114
    6.1.1 Norma de vetor - 114
    6.1.2 Sequência de Rayleigh - 115
    6.2 Matrizes inteiras, redução módulo um do número primo - 121
    6.3 Matrizes semelhantes - 122
    6.3.1 Irredutibilidade de polinômios - 126
    6.4 Forma canônica de Jordan - 128
    6.4.1 Polinômio característico e mínimo dos blocos de Jordan - 131
    6.4.2 Matrizes potencialmente diagonalizáveis - 134
    6.5 Forma canônica racional - 135
    6.5.1 Semelhança de matrizes inteiras e redução módulo um do número primo – 137


    7 Matrizes sobre corpos finitos - 141
    7.1 Grupos cíclicos de matrizes - 142
    7.2 Algumas matrizes especiais - 146
    7.2.1 Vandermonde sobre corpos finitos - 147
    7.2.2 Matriz de Hessenberg - 149
    7.2.3 Matrizes de Hadamard - 151
    7.2.4 Matrizes de Hadamard sobre F2 - 152
    7.3 Ordens de grupos lineares - 152
    7.3.1 Ordens de GLn(Fq) e SLn(Fq) - 153
    7.3.2 Probabilidade de inversão - 155
    7.4 Extensão do automorfismo de Frobenius - 156
    7.4.1 Matrizes hermitianas sobre corpos finitos - 158
    7.4.2 Formas hermitianas - 161
    7.4.3 Matrizes e grupos unitários - 163
    7.4.4 Matrizes normais – 166


    8 Bases para corpos finitos - 169
    8.1 Base polinomial - 170
    8.1.1 Bases polinomiais para subcorpos e extensão de base - 176
    8.2 Automorfismo e grupo de Galois - 176
    8.3 Base normal - 179
    8.3.1 Caracteres e suas independências - 179
    8.3.2 Existência da base normal - 181
    8.4 Base dual para corpos finitos – 182


    9 Formas quadráticas - 185
    9.1 Observações, definições e exemplos - 187
    9.1.1 Diagonalização - 190
    9.2 Subespaço isotrópico e redução - 192
    9.2.1 Classificação sobre corpos finitos - 193
    9.2.2 Formas equivalentes e exemplos em dimensões pequenas - 196
    9.3 Matrizes“positivas” para corpos finitos - 200
    9.4 Formas alternadas e matrizes simplécticas - 206
    9.4.1 Classificação de formas alternadas - 207
    9.4.2 Grupo simpléctico - 209
    9.4.3 Ordem do grupo Sp2n(Fq) - 210
    9.5 Grupos ortogonais - 213
    9.5.1 Tipos de grupos ortogonais - 214
    9.5.2 Equivalência de formas e isomorfismo de grupos - 215
    9.5.3 Representação matricial, q ´impar - 216
    9.5.4 Representação matricial, q par - 217
    9.5.5 O+(2m, q),O-(2m, q) e O(2m + 1, q) - 219
    9.5.6 Ordens de grupos ortogonais – 221


    10 Quatérnios e octônios - 223
    10.1 Quatérnios - 224
    10.1.1 Classificação de quatérnios sobre corpos finitos - 227
    10.2 Octônios - 229
    10.2.1 Loop de Moufang e octônios - 230
    10.2.2 Representação tabular - 232
    10.3 Álgebra de Hurwitz e octônios - 234
    10.3.1 Processo de Cayley-Dickson com parâmetro - 236
    10.3.2 Álgebras de Hurwitz decompostas – 237


    11 Fundamentos da Teoria de Códigos - 239
    11.1 Códigos lineares - 241
    11.1.1 Matriz geradora do código linear - 242
    11.1.2 Complemento ortogonal e matriz HC - 245
    11.2 Métrica de Hamming e suas aplicações - 247
    11.2.1 Distância de Hamming e bola discreta - 250
    11.2.2 Distância de Hamming e núcleo da direita - 251
    11.3 Corretor de erro - 253
    11.4 Códigos de Hamming - 257
    11.4.1 Caso [7, 4] - código de Hamming - 257
    11.4.2 Espaço projetivo P(Frq) - 261
    11.4.3 Cota de Hamming e código perfeito - 263


    12 Códigos cíclicos - 265
    12.1Função circular - 266
    12.2 Códigos cíclicos: definição e propriedades - 267
    12.2.1 Álgebra de Grupos - 268
    12.2.2 Polinômio gerador - 270
    12.2.3 Condição (n, q) = 1 e polinômio gerador - 272
    12.2.4 Função circular e polinômios - 274
    12.3 Exemplos de códigos cíclicos - 274
    12.3.1 Códigos de Golay e loop deMoufang - 276
    12.4 Códigos de Hadamard – 278


    13 Grafos e códigos - 281
    13.1 Grafos e subespaços isotrópicos - 282
    13.1.1 Grafos - 283
    13.2 Matriz de adjacência e grafos para matrizes - 285
    13.2.1 Um grafo para uma matriz - 287
    13.3 Códigos e grafos - 288
    13.3.1 Um grafo para grupos finitos - 289
    13.3.2 Grafo associado a (G,R) - 289
    13.3.3 Grafo associado a código - 291
    13.3.4 Códigos associados aos grafos de par (Fn2, S) - 292
    13.4 Autovalores de G(Fn2, S) - 294
    13.4.1 Grafos regulares - 294
    13.4.2 Caracteres de Fn2 - 295
    13.4.3 Autovalor dominante e distância mínima - 297
    13.4.4 Casos especiais – 298

    Referências - 301
    Indice Remissivo - 305

    Informações Técnicas

    Nº de páginas:320
    Origem:Nacional
    Editora:Editora Ciência Moderna
    Idioma:Português
    Edição:1ª Edição
    Ano:2015
    ISBN:9788539906154
    Encadernação:Brochura
    Autor:Salahoddin Shokranian
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